0 Hubungan Matematika Dengan Komputer

Banyak sekali kajian matematika yang memberikan kontribusi pada perkembangan kajian komputer. Kajian matematika tersebut misalnya: Arithmatika, Logika, Sistem Bilangan Real, Hubungan dan sebagainya. Yang digunakan dalam kajian bahasa pemograman komputer, misalnya: Fortran, Cobol, Pascal dan lain sebagainya. Di sini saya akan memberi contoh tentang kontribusi kajian matematika dalam program Pascal untuk menunjukkan bahwa kajian matematika benar-benar berkontribusi dalam perkembangan kajian komputer. Pengertian dan salah satu elemen program Pascal di bawah ini sumbernya dari buku karangan Prof. Dr. Jogiyanto H.M, M.B.A., Akt. yang berjudul Pengenalan Komputer.

Pascal adalah bahasa tingkat tinggi (high level language) yang orientasinya pada segala tujuan, dirancang oleh Prof. Niklaus Wirth dari Technical University di Zurich, Switzerland. Nama Pascal diambil sebagai penghargaan terhadap Blaise Pascal, ahli matematik dan philosophi terkenal abad 17 dari Perancis.

Pascal merupakan bahasa yang ditujukan untuk membuat program yang terstruktur. Pascal telah menjadi bahasa yang popular dalam semua kalangan, terutama dikalangan mahasiswa. Kenyataanya, bahasa Pascal merupakan bahasa pemograman komputer yang paling cepat popular jika dibanding dengan bahasa-bahasa pemograman komputer lainnya.

Salah satu elemen program Pascal adalah Tanda Operasi (operator) dan Ungkapan (expression) yang dikelompokkan menjadi 5 kategori, yaitu:

A. Unary minus

Operator yang berupa tanda minus yang hanya digunakan pada sebuah numerik untuk menunjukkan nilai negatif. Digunakan pada operand numerik real dan numerik integer.

1. Operator NOT

Digunakan untuk membalik nilai logika dari operand Boolean.

- NOT True adalah False

- NOT False adalah True

Dalam logika matematika, operator NOT disebut dengan negasi atau ingkaran.

2. Operator pengali

Yang termasuk operator pengali (multiplying operator) adalah operator perkalian, pembagian, modulus, operator AND dan penggeser bit.

3. Operator penambah

Yang termasuk dalam operator penambah adalah operator pertambahan, pengurangan, operator OR dan XOR.

4. Operator hubungan

Operator hubungan dapat digunakan pada semua tipe skalar standar.

Tabel Operator Hubungan

= Sama dengan

Tidak sama dengan

> Lebih besar dari

>= Lebih besar sama dengan dari

< Lebih kecil dari

<= Lebih kecil sama dengan dari

IN Seleksi dari anggota himpunan

Dari keterangan di atas, dapat dilihat contoh kontribusi konsep matematika dalam perkembangan bahasa pemograman komputer. Ini hanyalah salah satu contohnya saja. Jadi masih banyak kajian-kajian komputer yang menggunakan kajian matematika di dalam mengembangakan program-programnya.

Jika dilihat dari pemakaian kajian matematika dalam bahasa Pascal di atas, berarti yang digunakan dalam bahasa pemograman komputer baru menggunakan kajian logika matematika, hubungan dan arithmatika saja.

Ilmu Komputer adalah ilmu pengetahuan yang berisi tentang teori, metodologi, desain dan implementasi, berhubungan dengan komputasi, komputer, dan algoritmanya dalam perspektif perangkat lunak (software) maupun perangkat keras (hardware).

Ilmu Komputer mempelajari apa yang bisa dilakukan oleh beberapa program, dan apa yang tidak (komputabilitas dan intelegensia buatan), bagaimana program itu harus mengevaluasi suatu hasil (algoritma), bagaimana program harus menyimpan dan mengambil bit tertentu dari suatu informasi (struktur data), dan bagaimana program dan pengguna berkomunikasi (antarmuka pengguna dan bahasa pemrograman).

Ilmu komputer berakar dari elektronika, matematika dan linguistik. Dalam tiga dekade terakhir dari abad 20, ilmu komputer telah menjadi suatu disiplin ilmu baru dan telah mengembangkan metode dan istilah sendiri.

Penemu algoritma sendiri yang tercatat dalam sejarah awal adalah dari seorang yang bernama Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al Khwarizmi. Al Khwarizmi adalah seorang ahli matematika dari Uzbekistan yang hidup di masa tahun 770-840 masehi. Di literatur barat ia lebih terkenal dengan sebutan Algorizm. Kata algoritma sendiri berasal dari sebutannya ini.

Dalam matematika dan komputasi, algoritma merupakan kumpulan perintah untuk menyelesaikan suatu masalah. Perintah-perintah ini dapat diterjemahkan secara bertahap dari awal hingga akhir. Masalah tersebut dapat berupa apa saja, dengan catatan untuk setiap masalah, ada kriteria kondisi awal yang harus dipenuhi sebelum menjalankan algoritma. Algoritma akan dapat selalu berakhir untuk semua kondisi awal yang memenuhi kriteria, dalam hal ini berbeda dengan heuristik. Algoritma sering mempunyai langkah pengulangan (iterasi) atau memerlukan keputusan (logika Boolean dan perbandingan) sampai tugasnya selesai.

Desain dan analisis algoritma adalah suatu cabang khusus dalam ilmu komputer yang mempelajari karakteristik dan performa dari suatu algoritma dalam menyelesaikan masalah, terlepas dari implementasi algoritma tersebut. Dalam cabang disiplin ini algoritma dipelajari secara abstrak, terlepas dari sistem komputer atau bahasa pemrograman yang digunakan. Algoritma yang berbeda dapat diterapkan pada suatu masalah dengan kriteria yang sama.

Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah. Secara informal, algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang membutuhkan waktu lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai kompleksitas yang tinggi.

Seiring dengan perkembangan Ilmu Komputer, dewasa ini banyak sekali peneliti yang mencoba membuat kajian dan melakukan pendefinisian terhadap Ilmu Komputer. Bagaimanapun juga, dasar Ilmu Komputer adalah matematika dan engineering (teknik). Matematika menyumbangkan metode analisa, dan engineering menyumbangkan metode desain pada bidang ini.

Pembuatan suatu software haruslah efisien dalam perhitungan matematika. Jika suatu software bisa dijalankan oleh semua orang yang baru belajar maupun pakar, unsur kemudahan dalam segi hitungan matematika akan membuat software tersebut disukai oleh banyak orang.

Perkembangan peradapan matematika ini telah banyak mencetuskan pemikiran dan ide-ide ke arah pelaksanaan peralatan modern, seperti komputer dan sistem komunikasi. Walaupun peradapan manusia berubah dengan pesat namun bidang matematika terus relevan dan menunjang kepada perubahan ini. Sumbangan matematika terhadap perkembangan Ilmu Komputer sangatlah besar tengok saja istilah-istilah seperti Statistika, Probabilitas, Teori Informasi, Teori Graf, Aljabar Boolean, Matematika Diskret, dan Kalkulus yang ternyata sangat dibutuhkan dalam perkembangan Ilmu Komputer.

Statistika

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

Probabilitas

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi, dan tentu tidak akan mengejutkan sama sekali. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.

Teori informasi

Teori informasi (Inggris: information theory) adalah disiplin ilmu dalam bidang matematika terapan yang berkaitan dengan kuantisasi data sehingga data atau informasi itu dapat disimpan dan dikirimkan tanpa kesalahan (error) melalui suatu kanal komunikasi. Entropi informasi (information entropy) sering dipakai sebagai alat untuk maksud ini, dan biasanya dinyatakan sebagai banyaknya bit rerata yang diperlukan untuk penyimpanan dan pengiriman informasi tersebut. Sebagai contoh, jika keadaan cuaca harian dinyatakan dengan entropi 3 bit, maka kita katakan bahwa cuaca itu mempunyai rata-rata 3 bit tiap harinya.

Aplikasi dari topik dasar dalam teori informasi meliputi kompresi data tanpa cacat (lossless data compression, pada file ZIP misalnya), kompresi data (lossy data compression, pada file MP3, misalnya), dan pengkodean kanal (channel coding, pada saluran DSL, ADSL dll). Biasanya teori informasi merupakan titik temu dari bidang –bidang matematika, statistika, ilmu komputer, fisika, neurobiologi, dan teknik listrik serta komputer. Implementasi dari teori ini berdampak langsung dengan misi ruang angkasa, pemahaman mengenai lubang hitam dalam galaksi, dengan penelitian linguistika dan persepsi manusia, dengan jaringan komputer, jaringan Internet serta jaringan telepon genggam.

Secara khusus, teori informasi adalah cabang dari matematika peluang dan statistik, yang berkaitan dengan konsep informasi dan entropi informasi seperti telah dijelaskan di atas. Claude E. Shannon (1916-2001) dikenal sebagai “bapak dari teori informasi”. Shannon mendefinisikan pengukuran dari entropi informasi sebagai:

H= zigma pi log pi

Rumus ini jika diterapkan pada suatu sumber informasi, dapat menentukan kapasitas dari saluran yang diperlukan untuk mengirim data yang diterjemahkan ke dalam digit biner.

0 Sejarah Ilmu Matematika

Ikhtisar dan sejarah matematika

Untuk lebih jelasnya lihat pada artikel sejarah matematika .

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya. Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.setau saya 1 ditambah 1 sama dengan 10

(untuk lebih lengkap baca di http://id.wikipedia.org/wiki/Matemat...rah_matematika)

0 KEINDAHAN MATEMATIKA

Matematika sebagai seni

Johnson dan Rising (1972), mengetakan bahwa matematika adalah bahasa, yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat. Matematika adalah pengetahun struktur yang terorganisasikan, sifat-sifat atau teorinya dianut secara deduktif berdasarkan kepada unsur-unsur yang didefinisikn atau tidak, aksioma-aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya. Matematika adalah ilmu tentang pola, seni keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.

Kutipan di atas terlihat sangat menarik dan mengarah kepada pengertian bahwa matematika adalah bahasa dan memiliki seni atau keindahan.

A.   Matematika adalah Bahasa

Matematika adalah hasil perjanjian internasional sehingga matematika bersifat universal, matematika dapat diterjemahkan sebagai bahasa.

contoh  1+1=2

ditulis dengan gaya atau Bahasa Matematika.

Setelah diterjemahkan ke dalam bahasa Indonesia akan menjadi Satu ditambah satusama dengan dua. Begitupun jika di terjemahkan ke dalam bahasa lainnya seperti Arab, inggris, Spanyol, portugal atau yang lainnya akan memiliki makna yang sama. Seandainya dahulu tidak ditemukan simbol-simbol matematika mungkin sampai sekarang akan lebih lumrah mengenal matematika jadi semacam majas. Bukannya bidang studi mandiri atau bahasa.

Bahasa itu secara kasar bisa didefinisikan sebagai sesuatu yang kita gunakan untuk berkomunikasi dengan lebih baik dengan orang lain. Dengan kata lain membantu komunikasi.

Matematika pun menjadi objek kemunikasi tanpa kita sadari. Secara implisit yang benar-benar implisit. Apalagi di dunia maya begini. Sudah menjadi pengetahuan umum kalau satu karakter dalam setiap tulisan yang ada di komputer dapat menjadi kode ASCII. Kode-kode itu adalah angka dan diproses dengan matematika.

Lalu setiap suara terdengar berbeda adalah akibat perbedaan panjang gelombang atau frekuensi atau apa lah! Tetapi semua itu berupa matematika atau bahkan fungsi-fungsi yang biasa kita kenal baik dalam pemrograman maupun dalam soal matematika.

B.    Matematika adalah seni

matematika tidak bergantung kepada nilai-nilai ramalan bagi kebenarannya berdasarkan hukum-hukum, ia mempunyai tingkat kebenaran yang tinggi daripada sebagian besar ilmu pengetahuan, nilai kebenaran dari matematika dapat dibuktikan secara logic. Ketepatan, keteratuan dan keakuratan dari ilmu matematika menghasilkan keindahan baik dalam pola angka maupun pola yang diimplementasikan pada sebuah bentuk atau bangunan.

Contoh keindahan matematika berdasarkan pola yg dituangkan dalam angka :

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

(0 x 9) + 8 = 8

(9 x 9) + 7 = 88

(98 x 9) + 6 = 888

(987 x 9) + 5 = 8888

(9876 x 9) + 4 = 88888

(98765 x 9) + 3 = 888888

(987654 x 9) + 2 = 8888888

(9876543 x 9) + 1 = 88888888

(98765432 x 9) + 0 = 888888888

(987654321 x 9) - 1 = 8888888888

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

12 x 37= 444

15 x 37 = 555

18 x 37 = 666

21 x 37 = 777

24 x 37 = 888

27 x 37 = 999

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

32 + 42 = 52

102 + 112 + 122 = 132 + 142

212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272

362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Matematika adalah sebuah Kebenaran. Tidak akan ada yang bisa menyangkal hasilnya. Juga salah satu keindahan yang datang dari Tuhan

(dikutif dari http://www.psb-psma.org/content/blog/keindahan-matematika)